不貞相手から慰謝料を支払ってもらった場合、不貞相手が、配偶者である私の夫（妻）に求償権というものを行使できると聞いたのですが、これはどういう意味なのでしょうか。

不貞行為は、法的には、民法上の共同不法行為（民法７１９条）となり、不貞行為を行った男女の共同責任と考えられています。
したがって、慰謝料の請求は、不貞相手に対し、夫（妻）と不貞相手の二人分の慰謝料を請求し、回収をはかることができます。
そこで、二人分の慰謝料を支払った不貞相手は、あなたの配偶者に対し、配偶者の負担すべき慰謝料の額の求償を請求することができます。これを求償権といいます。
負担割合は、厳密には、不貞行為の中での両当事者の行為を斟酌の上判断されますが、通常、話し合いで半分ずつとして解決する場合が多いものと思われます。